摘要：质数的二次剩余。 若 p {\displaystyle p} 是奇质数且 p {\displaystyle p} 不能整除 d {\displaystyle d} ，则： d {\displaystyle d} 是模 p {\displaystyle p} 的二次剩余当且仅当： d p −。...?﹏?
质数的二次剩余。 若 p {\displaystyle p} 是奇质数且 p {\displaystyle p} 不能整除 d {\displaystyle d} ，则： d {\displaystyle d} 是模 p {\displaystyle p} 的二次剩余当且仅当： d p −。
对于质数2，每个整数都是它的二次剩余。 以下討论 p {\displaystyle p} 是奇质数的情况： 对於 X {\displaystyle X} ， X 2 ≡ d ( mod p ) {\displaystyle X^{2}\equiv d{\pmod {p}}} 而言，能满足「 d {\displaystyle。
dui yu zhi shu 2 ， mei ge zheng shu dou shi ta de er ci sheng yu 。 yi xia 討 lun p { \ d i s p l a y s t y l e p } shi qi zhi shu de qing kuang ： dui yu X { \ d i s p l a y s t y l e X } ， X 2 ≡ d ( m o d p ) { \ d i s p l a y s t y l e X ^ { 2 } \ e q u i v d { \ p m o d { p } } } er yan ， neng man zu 「 d { \ d i s p l a y s t y l e 。
质数，要么可以写为2个或以上的质数的积，而且这些质因子按大小排列之后，写法仅有一种方式。 例如： 6936 = 2 3 × 3 × 17 2 {\displaystyle 6936=2^{3}\times 3\times 17^{2}} ， 1200 = 2 4 × 3 × 5 2 {\displaystyle。
在数论中，合数（也称为合成数）是除了1和其本身外具有其他正因数的正整数。依照定义，每一个大於1的整数若不是质数，就会是合数。而1则被认为不是质数，也不是合数。 例如，整数14是一个合数，因为它可以被分解成 2 × 7 {\displaystyle 2\times 7} 。而整数2无法再找到本身和1以外的正因数，因此不是合数。。
{\displaystyle {\sqrt {2}}} 为无理数。 数学上有许多的定理可用反证法来证明，以下是一小部分的例子： 证明有无限多个质数。 任意6人当中，求证或者有3人两两相识，或者有3人互不相识。 现有90张纸，每张纸都写有一个非负整数，已知这90个数之和小于1980，证明至少有三张数目相同的纸。 集合 S。
孪生素数（英语：twin prime），也称为孪生质数、双生质数，是指一对素数，它们之间相差2。例如3和5，5和7，11和13，10016957和10016959等等都是孪生素数。 关于孪生素数有著名的孪生素数猜想，即是否存在无穷多对孪生素数。这是数论中未解决的一个重要问题。哈代-李特尔伍德猜想是孪。
在数论中，全循环质数又名长质数是指一个质数p，使分数1/p的循环节长度比质数少1，更精確地说，全循环质数是指一个质数p，在一个已知底数为b的进位制下，在下面算式中可以得出一个循环数的质数 b p − 1 − 1 p {\displaystyle {\frac {b^{p-1}-1}{p}}}。
质数之和，则被称之为此数的哥德巴赫分拆。例如， 4 = 2 + 2 6 = 3 + 3 8 = 3 + 5 10 = 3 + 7 = 5 + 5 12 = 5 + 7 14 = 3 + 11 = 7 + 7 16 = 3 + 13 = 5 + 11 。。
1 · 2 · 3 · · n ± 1 是否为一质数。此类形式的质数称之为阶乘质数。其他具p+1或p-1之类形式的质数还包括索菲·热尔曼质数（具2p+1形式的质数，其中p为质数）、质数阶乘质数、费马质数与梅森质数（具2p − 1形式的质数，其中p为质数）。卢卡斯-雷默质数。
狄利克雷定理是狄利克雷于1837年发表的数论中关于质数在同余类中分布的定理：对于任意互质正整数对 ( r , N ) {\displaystyle (r,N)} ，模 N {\displaystyle N} 同余 r {\displaystyle r} 的质数集合 { x | r ≡ x mod N ;。
在数论中，素数定理（英语：Prime number theorem）描述素数在自然数中分布的渐进情况，给出隨著数字的增大，质数的密度逐渐降低的直觉的形式化描述。1896年法国数学家雅克·阿达马和比利时数学家德·拉·瓦莱布桑先后独立给出证明。证明用到了复分析，尤其是黎曼ζ函数。。
正整数按乘法性质划分，可以分成质数，合数，1，质数产生了很多一般人能理解却又悬而未解的问题，如哥德巴赫猜想，孪生质数猜想等。即，很多问题虽然形式上十分初等，事实上却要用到许多艰深的数学知识。这一领域的研究从某种意义上推动了数学的发展，催生了大量的新思想和新方法。数论除了研究整数及质数。
13（十三）是12与14之间的自然数。 第6个质数。前一个为11、下一个为17。 第3对孪生质数之一，其为（11、 13）。 第3个幸运质数 第2个威尔逊质数 第2个毕达哥拉斯质数 第6个陈质数 第3个普罗斯质数 第5个瓦格斯塔夫质数 第1个反质数 第1个星状质数 第3个危险质数。前一个是3、下一个是17。 四胞胎素数。
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质数公式，又称素数公式，在数学领域中，表示一种能够仅产生质数的公式。即是说，这个公式能够一个不漏地产生所有的质数，并且对每个输入的值，此公式产生的结果都是质数。由于质数的个数是可数的，因此一般假设输入的值是自然数集（或整数集及其它可数集）。迄今为止，人们尚未找到易于计算且符合上述条件的质数。
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的剩余即可。因此，为了寻找模质数的二次剩余的规律，可以先研究对于前几个质数2、3、5等的情况，看对于什么样的质数 p {\displaystyle p} ，2、3、5等是模它们的剩余。此外为了研究正负号对乘积的影响，也要研究-1的情况。为了发现规律，可以借助50以内的质数的二次剩余表。 下表列出了1至20模50以内的质数。
环状质数（英语：Circular prime）是在环状排列后仍然是质数的质数。例如1193本身是质数，而其环状排列后，产生的1931、9311及3119都是质数，因此1193是环状质数。考虑十进位的环状质数，若超过一位数的环状质数，只会由1、3、7、9四个数字组成，因为其中若有偶数，偶数排到个位数时。
Mathematics）投稿 引用 连以婷. 他的「发丝步」撞破数学界的「质数墙」 华人数学家张益唐破解百年数学谜题. TechNews 科技新报. 2013年6月28日 [2014-09-02]. （原始内容存档于2014-08-31） （中文）. D. Goldston, J. Pintz and C. Yildirim。
质数可证明是无限多，而它们可以不同质数公式生成。以下列出头500个质数，並以英文字母顺序將不同种类的质数中的第一批。 列出来。 以下共有二十行，二十五列，每行二十个连续质数。（OEIS数列A000040） 哥德巴赫猜想证明研究报告声称可用来计出1018內所有质数。
_{i=0}^{n}{n \choose i}-1=\sum _{i=0}^{n-1}2^{i}} 。 q≡3mod4为素数。则2q＋1是素数的充分必要条件是2q＋1整除Mq ，因此对於这些素数q（除了3），Mq不可能会是质数，前几个这样的素数q为11、23、83、131、179、191、239、251、359、4。
唯一一组相差为1的质数对之一，其为（2、 3）。 第一个阶乘素数（ 1 ! + 1 {\displaystyle 1!+1} ）。下一个是3。 第一个危险质数。下一个是3。 第一个Smarandache–Wellin素数 十进制下，既是可右截短质数，也是可左截短质数 十进制下的可交换素数 此数字虽然是自然质数（实质数），但不是高斯质数。。
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